[Cálculo Numérico] Método do Ponto Fixo com o GeoGebra (ilustração)
Nesse post vamos mostrar como você pode usar a ferramenta planilha do GeoGebra para produzir uma ilustração do método do ponto fixo para resolver equações (principalmente as transcendentes).
Para ver o restante do post, clique em Mais informações » a seguir
Considere o problema de encontrar a raiz de uma função contínua $g(x)=0$ que possui uma raiz no intervalo $[a,\,b]$. O método do ponto fixo consiste em encontrar um valor de $x$ em $[a,\,b]$ tal que $f(x)=x$ onde a solução desta última equação é a mesma que faz com que $g(x)$=0. A função $f$ é chamada função de transição ou interação.
Para ilustrar mostraremos como encontrar uma raíz da função $g(x)=x-\sqrt{x}$. Nesse caso, o valor de x que faz com que $f(x)=x$ ou seja, $\sqrt{x}=x$ é o mesmo que faz com que $g(x)=x-\sqrt{x}=0$. Encontrar uma raiz para $g$ é, portanto, equivalente a encontrar um ponto fixo para $f$.
Vamos ao GeoGebra. Abra o seu software
Vamos ao GeoGebra. Abra o seu software
- no menu principal clique em EXIBIR>>PLANILHA;
- ainda no CAMPO DE ENTRADA digite: y=x ; depois digite: f(x)=sqrt(x) ;
- na célula A1 digite: =Ponto[EixoX]; aperte a tecla ESC e arraste o ponto A1 que apareceu sobre o EixoX. Deixe-o próximo de x=3.
- na célula B1 digite: =(x(A1), f(x(A1)))
- na célula C1 digite: =Segmento[A1, B1]
- na célula A2 digite: =(y(B1), y(B1))
- copie a fórmula da célula B1 para a célula B2 ou escreva na célula B2: =(x(A2), f(x(A2)))
- copie a fórmula da célula C1 para a célula C2 ou escreva na célula C2: =Segmento[A2, B2]
- na célula D2 digite: =Segmento[B1, A2]
- selecione as células A2 até D2 (basta clicar em A2 e arrastar até D2.
Pronto. Agora basta repetir esse procedimento copiando-o para as células que estão abaixo. Para isso, basta clicar no pequeno quadrado azul na parte direita inferior da célula D2 e arrastar para baixo. Sugiro que arraste até a linha 20 (serão 20 interações)
Selecione as colunas A,B,C e D (basta clicar sobre a letra da coluna A e arrastar até a coluna D (ver figura seguinte). Feito isso, clique com o botão do lado direito do mouse sobre a planilha, selecione a opção PROPRIEDADES e na janela que aparecerá, DESMARQUE a opção EXIBIR RÓTULO.
Feito isso, o que pode fazer agora é embelezar sua construção, mas isso deixarei contigo. O applet a seguir mostra um dos resultados finais.
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Quando for tentar resolver um outro problema, poderá se deparar com outras funções de transição (ou interação). Nesse caso poderá usar a construção feita para ilustrar a convergência ou divergência da sequência usada para se aproximar da raiz, a saber,
$$x_{k+1}=f(x_k)\;,\;k\in \mathbb{N}.$$
Use o CAMPO DE ENTRADA no applet anterior para experimentar outras funções de transição (para outros problemas). Modifique a escala, caso queira ou baixe o arquivo. Basta um clique duplo em qualquer lugar do applet. Para modificar a função de transição, basta escrever no CAMPO DE ENTRADA:
- f(x)=x^2
- f(x)=sin(x)
- f(x)=abs(cos(x))
Agora... Divirta-se.
Grande abraço
5 comentários :
Professor Luiz, quero agradecer a colaboração, fiquei muito satisfeita por ter realizado a atividade proposta. São meus primeiros passos no cálculo numérico, inclusive utilizando o geogebra.
Fiquei sabendo de seu blog pelo professor Jorge.
Se tiver mais exercícios eu gostaria de recebê-los, é possível?
Grata e votos de sucesso sempre.
Walquiria
Oi Walkiria...
Que bom que foi útil. Que tal seguir o blog? Eu quero enviar espécies de boletins aos seguidores. Aí você ficará sabendo sempre que postar alguma coisa aqui.
Um grande abraço
Luís Cláudio LA
Bom dia, Luis.
Tenho que resolver uma lista de exercícios de Cálculo Numérico mas ainda não tenho muita base.
Você conhece algum aluna que poderia me auxiliar na resolução, que entenda bem da matéria?
Meu e-mail: angelomolino@globo.com
Bom dia, Luis.
Tenho que resolver uma lista de exercícios de Cálculo Numérico mas ainda não tenho muita base.
Você conhece algum aluna que poderia me auxiliar na resolução, que entenda bem da matéria?
Meu e-mail: angelomolino@globo.com
Oi Agnelo... Tudo bem? Espero que sim. Olha, eu não conheço ninguém que possa lhe ajudar, mas em sua instituição deve haver monitores. Eles poderão lhe ajudar. É a forma mais rápida e simples de se obter ajudar.
Grande abraço
Luís Cláudio LA
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