[Cálculo 1] Ilustração para limites laterais
Neste post vamos construir uma ilustração para o conceito de limites laterais e consequentemente de limites. Gostamos de ressaltar sempre a condição de ilustração e destacar que o que verá nada prova, mas é uma forma de melhorar a compreensão do fenômeno estudado. No caso de você ser professor é uma oportunidade de mostrar de forma rápida vários exemplos de forma muito convincente.
Mais uma vez, faremos uso da ferramenta planilha para esta construção. As instruções aqui contidas não envolverão a parte de embelezamento (mudar cor, espessura, tipo de linha, ajuste de escala etc).
Para ver o restante do post, clique em Mais informações » a seguir ou no link anterior.
Para esta ilustração usaremos a função
$$f(x)=\frac{|x|}{x}.(x^2+1)$$
Abra o seu software GeoGebra e no CAMPO DE ENTRADA
- f(x)=abs(x)/x*(x^2+1)
No MENU PRINCIPAL clique em EXIBIR>>PLANILHA. Na célula A1 digite: x tende a e nas células A2, B2, C2 até G2 digite os textos mostrados na figura seguinte.
Na célula B1 ficará o valor para onde o valor de x tenderá. Todo o trabalho será voltado para esta célula. Clique na célula A3 e digite 1; clique na célula A4 e digite 2; selecione as duas células e clique no quadrado azul na extremidade direita inferior da seleção (veja figura anterior) e arraste para baixo até a linha 22. com isso criaremos uma ilustração com 20 passos. Se tudo correu bem você estará com os números 1, 2, 3, 4, ... , 20 na coluna A, correto?
Agora, siga os passos seguintes, mas antes entenda qual será a idéia. Vamos pegar um ponto que está uma unidade antes (à esquerda) do ponto limite e um outro uma unidade após (à direita) do ponto limite. Os valores à esquerda do ponto limite serão chamados de x- e os à direita de x+. Vamos mostrar no gráfico os vários pontos na forma (x-,f(x-)) e (x+,f(x+)) quando x- se aproxima do ponto limite pela esquerda e x+ pela direita. Entendeu a ideia? Vamos lá.
Obs.: por conta do filtro LaTeX que gera os símbolos matemáticos que vê no blog tudo o que é colocado entre dois cifrões ele interpreta como símbolo matemático. Assim, no texto abaixo onde vê € substitua por $.
- Na célula B1 entre com o valor zero;
- na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/( A3 ) (significa cifrão B cifrão 1 -1/A3). Com isso estamos pedindo para que ele pegue o valor da célula B1 e subtraia uma unidade dividido pelo valor da célula que está em A3. O cifrão antes do B fixa a coluna no caso de copiar fórmulas e o cifrão à esquerda do 1 fixa a linha. Nesse caso fixamos a célula pois a linha e a coluna estão fixadas. Veja na imagem seguinte como deve digitar.
- Na célula C3 digite: =f( B3 )
- Na célula D3 digite: =( B3 , C3 )
- Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.
- Na célula F3 digite: =f( E3 )
- Na célula G3 digite: =(E3, F3)
Pronto. A base de sua construção já está pronta. Selecione as células B3 até G3 como mostrado na figura seguinte.
Clique na extremidade direita da seleção (o quadradinho azul que vê na figura anterior) e arraste para baixo até a linha 22 (se quiser mais é só acrescentar mais valores na primeira coluna) e pronto.
Algumas ações para melhorar sua construção
Note que o rótulo dos pontos aparecem na figura que está na JANELA DE VISUALIZAÇÃO e seria interessante que não estivesse. Para retirar, faça o seguinte:
- Clique na coluna onde estão os pontos (D ou G) e depois clique com o botão do lado direito do mouse em algum lugar da coluna e selecione a opção PROPRIEDADES.
- Na nova janela que aparecerá clique em PONTO na coluna esquerda e todos os pontos serão selecionados. Se preferir, nesse momento já pode modificar as propriedades dos pontos como espessura, cor, forma etc.
- Clicando na guia BÁSICO deverá desmarcar a opção EXIBIR RÓTULO (figura seguinte). Assim os pontos não aparecerão mais com os rótulos e o desenho ficará mais limpo.
Feito isso, clique em FECHAR. Para selecionar apenas os pontos.
Como aumentar a "velocidade" de aproximação do ponto limite?
Você notará que estamos usando uma sequência do tipo
$$x_n=x_0\pm \frac{1}{n}$$
De fato quando n tende a infinito, $x_n$ tende a $x_0$, mas com apenas 20 termos podemos achar que ficamos muito "distante" do ponto limite. Para aumentar essa "velocidade", basta fazer um ajuste na sequência usada.
Demos uma instrução anteriormente assim:
- na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/A3 (significa cifrão B cifrão 1 -1).
- Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.
Basta modificar a relação com a coluna A. Algumas formas de melhorar a rapidez com que os pontos se aproximam do ponto limite seria assim:
- na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/A3^2 (significa cifrão B cifrão 1 -1).
- Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 /A3^2 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.
ou ainda, para ficar mais rápido ainda:
- na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/exp(A3) (significa cifrão B cifrão 1 -1).
- Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 /exp(A3) Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.
Feito essa modificação, basta selecionar as células B3 até G3 e copiar essas fórmulas até a linha 22 (basta clicar a arrastar o quadradinho azul na extremidade direita da seleção.
Uma outra ação poderá modificar a quantidade de casas decimais consideradas. Para fazer este ajuste, no MENU PRINCIPAL, vá em OPÇÕES>> ARREDONDAMENTOS e escolha quantas casas decimais quer.
APPLET
A seguir você tem acesso ao applet com esta construção. Aqui na Internet mesmo poderá modificar a função digitando no CAMPO DE ENTRADA a função que quer trabalhar. Eis alguns exemplos funções que pode digitar no referido campo:
- f(x)=sin(x)/x
- f(x)=(1-cos(x))/x
- f(x)=ln(x)
Escolha a sua agora.
..
Para modificar o ponto limite, no CAMPO DE ENTRADA digite o novo valor para a célula B2 (que é onde está o valor para onde x tenderá). Eis alguns exemplos:
- B2=1
- B2=3
- B2=-2
e assim por diante.
Para pegar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre o Applet.
Vamos deixar uma tarefa para você. Colocar um segmento de reta que une o ponto sobre o EixoX ao ponto sobre o gráfico e outro que une o ponto sobre o gráfico até o EixoY. Naturalmente que o ponto sobre o EixoX deve ter a mesma abscissa do ponto sobre o gráfico e o ponto sobre o EixoY deve ter a mesma ordenada do ponto sobre o gráfico. Ilustração clássica.
Se você é professor(a), a parte da planilha propriamente dita pode ser interessante para você mostrar ao seu aluno a ideia de convergência. Muitos calculam até de forma correta, mas não têm um entendimento pleno do que estão calculando.
Divirtam-se...
Gostaria de receber notícias deste blog e seus autores? Assine nosso boletim informativo (coluna direita na parte superior). Quer sugerir alguma ilustração, deixe um comentário no campo a seguir. Sugira ilustrações e, na medida do possível, vamos colocar aqui.
Luís Cláudio LA & J.Cássio
