Ilustração sobre gráficos de funções inversas
Prezados(as)
neste post pretendemos construir uma ilustração que permita ao estudante perceber, do ponto de vista geométrico, como ele pode perceber qual é a forma do gráfico da inversa de uma função contando que conheça o gráfico desta função. Os conceitos necessários são:
- Rotação de um ponto em torno da origem.
- Reflexão de um ponto em torno do EixoY
Um problema inicial que enfrentamos está no fato de que o comando Girar[] do GeoGebra não gira funções. Para contornar esse problema precisaremos de um pouco de matemática e a função LUGAR GEOMÉTRICO.
A estratégia será a seguinte:
- Criamos uma função usando o comando Função[lei, início, fim]
- Colocamos um ponto sobre o gráfico desta função. Provavelmente será nomeado de "A".
- Criamos um ponto B que é a rotação do ponto A em "t" radianos em torno da origem. Esse parâmetro "t" estará no intervalo [0; 1,57]
- Usamos a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO para marcar esse lugar.
- Quando o parâmetro "t" estiver em 1,57 (metade de pi) pedimos para ele mostrar a reflexão do gráfico que está girando em torno do EixoY (matemática básica)
- Enfeites finais.
Se quer ver o restante do post clique em clique em "Mais informações »" a seguir.
Devemos primeiro criar uma função. Usaremos o comando Função[] para ter controle sobre o domínio, já que várias funções não têm inversas se tomarmos o domínio sendo os Reais, como por exemplo: f(x)=cos(x), sen(x), x² e outras. No CAMPO DE ENTRADA entre com o seguinte comando:
- f(x)=Função[x^2,0,5]
Criamos uma função y=x² definida no intervalo [0, 5]. Vamos pedir um ponto sobre o gráfico de f. Para isso entre com o seguinte comando
- Ponto[f]
Um ponto A foi criado sobre o gráfico de f. Aperte a tecla ESC e movimente o ponto.
Agora vamos criar o parâmetro que controlará a rotação. Usaremos a ferramenta SELETOR (Janela 10). Ative esta ferramenta (figura do botão ao lado) e clique onde quer que o seletor apareça. Uma janela se abrirá. Dê nome a esse seletor de "t" com valor inicial em 0 e final em 1.57. Aperte o botão APLICAR.
O próximo passo é criar um ponto B que seja a rotação do ponto A em "t" radianos no sentido anti-horário. Aqui é necessário o conhecimento de um pouco de matemática que se aprende geralmente nos cursos de Álgebra Linear (ou Geometria Analítica, não me lembro muito bem). Se (x,y) é um ponto qualquer do plano coordenado e (X,Y) é a coordenada de um ponto obtido com a rotação do ponto (x,y) em torno da origem em um ângulo de "t" radianos (pode ser em graus também, claro), então
$$X=x.\cos(t)-y.\sin(t)$$
.
.
$$Y=x.\sin(t)+y.\cos(t)$$
Veja isso mais detalhadamente clicando AQUI. Precisamos criar um ponto então com estas coordenadas. Para isso, entre com o seguinte comando no CAMPO DE ENTRADA do GeoGebra:
- (x(A) cos(t) - y(A) sin(t), x(A) sin(t) + y(A) cos(t))
O ponto criado foi nomeado, provavelmente, como B. Aperte a tecla ESC e certifique-se que o ponto gira em torno da origem. Agora temos os dois pontos necessários para construir o lugar geométrico.
- Ative a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO e clique sobre o ponto B e posteriormente sobre o ponto A. Alternativamente, no CAMPO DE ENTRADA entre com o comando LugarGeométrico[B,A] .
Aperte a tecla ESC e arraste o seletor com o parâmetro "t". Veja se o gráfico gira em torno do EixoX.
A parte final deixo como exercícios vocês construírem. Vejam se conseguem construir algo semelhante ao que se vê no applet seguinte.
..
Para baixar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre ele depois de carregado. Para modificar a função que está sendo usada na ilustração, digite no CAMPO DE ENTRADA uma instrução na forma: f(x)=Função[lei da função, início, fim]. Deixarei algumas para que possa apenas copiar e colar (na verdade basta selecionar, arrastar para o CAMPO DE ENTRADA e apertar ENTER).
- f(x)=Função[sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de seno em $[-\pi/2,\pi/2]$
- f(x)=Função[cos(x),0,pi] - para a inversa de cosseno em $[0,\pi]$
- f(x)=Função[tan(x),-1.5,1.5] - para a inversa de tangente em $[-\pi/2,\pi/2]$
- f(x)=Função[cos(x)/sin(x),0,pi] - para a inversa de cotangente em $[0,\pi]$
- f(x)=Função[1/cos(x),0,pi] - para a inversa de secante em $[0,\pi]$
- f(x)=Função[1/sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de cosecante em $[-\pi/2,\pi/2]$
- f(x)=Função[x^2,-5,0] - para a inversa de $y=x^2$, $x>0$
- f(x)=Função[sqrt(x),0,10] - para a inversa de $y=\sqrt{x}$, $x>0$
- f(x)=exp(x) - para a inversa da exponencial
- f(x)=ln(x) - para a inversa do logaritmo natural
Agora você pode tentar fazer as suas. Há uma outra forma de gerar o gráfico da função inversa que é refletindo o gráfico de y=f(x) em torno da reta y=x, mas deixaremos essa construção como uma atividade, já que é bem simples.
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Grande abraço
Luís Cláudio LA
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